三角形外心是(shi)什么线的交点（三角形外心性质）

1.垂心：

〈1〉定义：是三角形(xing)三条高的交点。

〈2〉性质：

[性质1] 锐角三角形的垂心在三(san)角形内;直角三角形的垂心在直角顶(ding)点上;钝角三角形的垂心在(zai)三角形外。

[性质2] 三角形的垂(chui)心是它垂足三角形的内(nei)心;或者说，三角形的内心是它旁心三(san)角形的垂心。

[性质3] 垂(chui)心O关于三边的对称点(dian)，均在△ABC的外接圆圆上(shang)。

[性质4] △ABC中，有六组(zu)四点共圆，有三(san)组(每组四个)相似的直角三角形，。

[性质5]O、A、B、C四点中任一(yi)点是其余三点为顶点的三角形(xing)的垂心(并称这样(yang)的四点为--垂心组)。

[性质(zhi)6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。

[性质7] 三角形任一顶点到垂心的距离，等(deng)于外心到对边的距离的2倍。

[性质8]设O、 H分别为△ABC的外(wai)心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC, ∠BCO=∠HCA.

[性(xing)质9] 锐角三角形的垂心到三顶点(dian)的距离之和等于其内切圆(yuan)与外接圆半径之和的2倍，即 AH+BH+CH = 2（r+R）。

[性质(zhi)10] 锐角三角形的垂心(xin)是垂足三角形的内心;锐角三角形的(de)内接三角形(顶点在原(yuan)三角形的边上)中(zhong)，以垂足三角形的周长最短。

[性质11] 设H为非直角三角形的垂(chui)心，且D、E、F分别为H在BC，CA, AB.上的射影，H1,H2，H3分别为△AEF,△BDF，△CDE的垂心，则(ze)△DEF≌△H1 H2H3.

[性质(zhi)12] 三角形(xing)垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的(de)切线。

2.内心

〈1〉定义：是三角形三(san)条内角平分线的交点 即内接圆的(de)圆心。

即AE、BF、CD分别平分(fen)角BAC、角100ABC、角BCA，且AE、BF与CD相交于(yu)点O，点O即为△ABC的内心。

〈2〉性质：

[性质1] 三角形的内心到三边的距离相等(deng),都等于内切圆(yuan)半径r.

[性质2] ∠ BOC=90°+∠BAC/2。

[性质3] 在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BDxCD

3.重心：

〈1〉重心的定义：重(zhong)心是三角形三条(tiao)中线的交点。

〈2〉重心的性质：

[性质1] 三(san)角形的重心到边的中心与到(dao)这条边所对的顶点的距离之比(bi)为1:2，即OD：OA = 1：2 ；

OE：OC = 1：2 ；

OF：OB = 1：2 。

[性质2] 重心和三角(jiao)形3个顶点组成的3个三角(jiao)形面积相等，即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三条边的距(ju)离与三条边的长成反比。

[性质3] 重心到三角形3个顶点距离的(de)平方和最小。

[性质4] 在平面直角坐标系(xi)中,重心的坐标是顶点坐标的(de)算术平均数。即在△ABC中，若点A（X1、Y1）、B（X2、Y2）、C（X3、Y3），则其重心点O的坐标为{（X1+Ⅹ2+X3）/3、（Y1+Y2+Y3）/3}。

4.外心：

〈1〉外心的定义：外心是三角形三条边的垂直平(ping)分线的交点， 即(ji)外接圆的圆心。

〈2〉外心(xin)的性质：

[性质1] 若O是△ABC的外(wai)心,则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

[性质2] 当三角形为锐角三角形时,外心(xin)在三角形内部；当三角形为钝(dun)角三角形时,外心在三角形(xing)外部；当三角形为直角三角形时,外心(xin)在斜边上,与斜(xie)边的中点重合。

[性质3] 外心到三(san)顶点的距离相等，即OA=OB=OC。

5.旁心：

〈1〉旁心的定义：

是三角形两条外角平分线和一(yi)条内角平分线的交点。

〈2〉旁心的性质：

[性质(zhi)1] 旁心到三角形三边的(de)距离相等，即OE=OF=OG。

[性质2]任何三角形都有3个旁心，且不相邻的内角平(ping)分线过旁心。

[性质3] 任意一个三角形都有三个旁切圆，三个(ge)旁心。旁心一定(ding)在三角形外。即(ji)⊙O1、⊙O2、⊙O3是△ABC的三个旁切圆， 〇1、〇2、〇3是△ABC的3个(ge)旁心，它们都在△ABC的(de)外部。

[性质(zhi)3] 直角三角形斜边上的旁切圆(yuan)的半径等于三角形周长的一半(ban){假设△ABC是Rt△，且∠A=90度，⊙O1是斜边BC上的旁切圆，则(ze)此旁切圆的半径R1=1/2（AB+BC+AC）}。

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